隧道施工引起地層位移預(yù)測模型的對比分析摘要：在我國城市隧道施工引起的地面變形的研究和工程領(lǐng)域中，隨機介質(zhì)理論法和 Peck 法是 2 種應(yīng)用較廣的方法。但是目前對這 2 種方法各自的應(yīng)用條件、二者的理論聯(lián)系、計算結(jié)果的關(guān)系等方面還沒有明確的結(jié)論。除此以外，由于隨機介質(zhì)理論法應(yīng)用經(jīng)驗相對少，相應(yīng)的關(guān)鍵參數(shù)的取值方法也很不成熟，基于理論背景研究和實際算例分析，對隨機介質(zhì)理論法和 Peck 法進行深入全面的比較和探討。經(jīng)過推導(dǎo)認為，Peck 法適用于隧道埋深較大、隧道開挖面積較小的情況，是隨機介質(zhì)理論法在隧道埋深較大情況下的一個近似，而不適用于超淺埋的情況。在此基礎(chǔ)上，比較二者計算參數(shù)的關(guān)系，并對隨機介質(zhì)法的 2 個關(guān)鍵計算參數(shù)，即主要影響角和斷面收縮半徑提出簡單而有效的工程確定方法，大大地增強隨機介質(zhì)理論法的工程實用性。通過較多實際工程的驗證，證明上述方法的有效性和可靠性。關(guān)鍵詞：隧道工程；地鐵；地層位移；沉降槽；隨機介質(zhì)理論法；Peck 法；計算參數(shù)1 引 言 目前我國已經(jīng)進入城市地鐵建設(shè)的高峰期，地鐵隧道開挖在城市環(huán)境中會引起一系列的工程災(zāi)害問題，其中最為顯著的就是地面變形問題。在這一領(lǐng)域，隨機介質(zhì)理論法和 Peck 法是 2 種應(yīng)用較廣的地層位移預(yù)測方法。隨機介質(zhì)理論是波蘭學(xué)者 J.Litwiniszyn 于 20 世紀(jì) 50 年代提出的，經(jīng)過我國學(xué)者陽軍生和劉寶琛[1，2]的進一步發(fā)展和完善，該理論與經(jīng)典的 Peck 法一起成為目前國內(nèi)工程中應(yīng)用廣泛的 2 種簡便的實用方法之一。 在應(yīng)用 Peck 法和隨機介質(zhì)理論法時，很多文獻都指出，用隨機介質(zhì)理論得到的沉降分布形態(tài)和Peck 法獲得的結(jié)果相似，也有報道認為隨機介質(zhì)理論得到的結(jié)果也符合高斯分布函數(shù)，即與 Peck 法具有相同的形式[3，4]。上述都是基于工程實踐得到的認識。隨機介質(zhì)理論法來源于礦業(yè)工程，在我國被引入到城市土中地鐵隧道引起的地層位移預(yù)測則是最近幾年的事，因此在具體的工程應(yīng)用中還存在很多不明確的地方，特別是對其中的關(guān)鍵參數(shù)的取值還沒有成熟的方法。 有鑒于此，本文對這 2 種方法進行全面比較，深入分析隨機介質(zhì)理論法和 Peck 法的關(guān)系，并給出隨機介質(zhì)理論法中的關(guān)鍵參數(shù)的確定方法。通過上述工作，可大大地增強隨機介質(zhì)理論法的工程實用性。2 隨機介質(zhì)理論法和 Peck 法的基本原理2.1 Peck 法 R. B. Peck[5]在大量實測資料分析的基礎(chǔ)上，于1969 年在國際土力學(xué)大會上提出地表沉降槽的橫斷面大致遵循正態(tài)分布曲線(又稱高斯分布曲線)規(guī)律，后來又經(jīng)過很多學(xué)者的補充和完善。相應(yīng)的地層沉降位移預(yù)測模型[5～8]為
式中： sm ax為在曲線的對稱點處(即隧道中心線的正上方)所發(fā)生的最大沉降，i 為從隧道中心線到沉降曲線的拐點處的水平距離。 計算 i 的一個廣泛采用的方法是 M. P. O′Reilly和 B. M. New[9]根據(jù)倫敦地區(qū)使用的工程經(jīng)驗提出的，即認為 i 和隧道軸線埋深 z 0之間存在簡單的線性關(guān)系：i = Kz0 (2) 式中：K 為沉降槽寬度系數(shù)。 若引入地層損失率 Vl 的概念，式(1)可寫為 式中： Vl 為地層損失率，定義為單位長度的地表沉降槽的體積占隧道開挖的名義面積 A 的百分比。 Peck 法的提出使沉降的預(yù)測在數(shù)學(xué)上大大簡化。經(jīng)過 30 多年工程實踐驗證，已經(jīng)積累豐富的實際應(yīng)用經(jīng)驗，被證明是一個有效的預(yù)估沉降的方法。目前，Peck 法已經(jīng)成為一個經(jīng)典公式，很多其他的經(jīng)驗方法都是在這一方法的基礎(chǔ)上進行修正而得來的。2.2 隨機介質(zhì)理論法 隨機介質(zhì)理論將巖土體視為一種“隨機介質(zhì)”，將開挖巖土體引起的地表下沉視為一個隨機過程。從統(tǒng)計觀點，可將整個隧道開挖看作無限多個無限小的開挖對上部地層影響的總和。如圖 1 所示的一個開挖單元，在不排水、不固結(jié)、密度不變化條件下，當(dāng)開挖單元完全塌落時，上部地層的坐標(biāo)點( x ，y ，z)的下沉[2](即地表的橫向沉降槽)為 式中： r (z)為微單元開挖在深度為 z 的水平面上的主要影響半徑，或稱為主要影響范圍。 根據(jù)荷蘭學(xué)者 S. Knothe[10]提出的采礦工程中的經(jīng)驗，沉陷槽主要影響范圍為r ( z)= z/tanβ (5) 式中： β 為隧道上部圍巖的主要影響角。 根據(jù)上述定義，對于地面沉降槽( z = z0)，β 的含義如圖 2 所示。 將式(4)對預(yù)先定義的某種類型的塌陷形式在塌陷面積上進行積分(如圖 3 所示)，就可獲得該情況下隧道上覆地層的位移：3 隨機介質(zhì)理論與 Peck 法的關(guān)系 在式(3)中， AV l的物理意義就是隧道開挖后的收斂面積(即隧道斷面面積的減小)。假定一個微型隧道用微元 dξ dη表示(且完全塌陷)，則收斂的面積應(yīng)為 d ξdη，將其代替式(3)中的 AVl ，可得 經(jīng)過式(9)的轉(zhuǎn)換就可得到與 Peck 法完全相同的結(jié)果。因此可明確以下結(jié)論：對于一個足夠小的開挖單元引起的地面沉降，隨機介質(zhì)理論和 Peck法得到的沉降槽分布特點和趨勢一致，若二者采用相同的沉降槽寬度，即式(9)成立，則具體沉降計算結(jié)果也是一致的。這里所謂的“足夠小的開挖單元”，在工程中可理解為：相應(yīng)于其開挖半徑或開挖面積，其埋深足夠大。這一結(jié)論將在后面進一步用計算結(jié)果證明。 經(jīng)過上述推導(dǎo)分析，可看到 Peck 法可看作是隨機介質(zhì)理論法在埋深較大的小斷面隧道的一個近似，即 z 0 /R(R 為隧道開挖半徑)足夠大的情況。由此也可解釋 2 種方法在很多情況下得到的結(jié)果也比較近似的原因。而隨機介質(zhì)方法得到的地表沉降曲線則相當(dāng)于一系列微元開挖引起的地表高斯曲線的疊加，與隧道開挖面的幾何性質(zhì)有關(guān)系，因此嚴(yán)格意義上講一般不符合高斯分布。 綜上所述，Peck 法的適用條件應(yīng)該是埋深大、半徑小的隧道開挖。對于淺埋的大斷面隧道，其引起的地面變形不可避免地要受到開挖斷面形狀和隧道收斂具體情況的影響。隨機介質(zhì)理論由于是直接基于隧道開挖前后斷面面積上的積分，因此可反映斷面形狀和隧道收斂情況的影響，因此從理論上來看，要比 Peck 法適用性更廣。當(dāng)然，對于一般城市地鐵隧道，以北京為例，埋深 20～30 m，直徑φ 4～6 m，能夠滿足上述 Peck 法的適用條件，因此具有良好的實用效果。4 隨機介質(zhì)理論法的參數(shù)確定 在隨機介質(zhì)理論中，需要確定 2 個關(guān)鍵參數(shù)：β和 △ R。而隨機介質(zhì)理論是最近 3～5 a 來剛剛從礦業(yè)工程領(lǐng)域引入城市淺埋地鐵隧道開挖引起地面變形計算中，因此對相關(guān)的計算參數(shù)的基本規(guī)律和選用還缺乏經(jīng)驗。相對而言，Peck 法在國內(nèi)外的應(yīng)用更加廣泛，也已經(jīng)積累很多經(jīng)驗。公式中所應(yīng)用的2 個關(guān)鍵參數(shù)，即沉降槽寬度系數(shù) K 和地層損失系數(shù) Vl，不僅對其影響因素有很多研究成果，且也提出很多行之有效的計算或預(yù)測方法，各地還積累一定的經(jīng)驗取值方法。 因此，在明確隨機介質(zhì)理論法和 Peck 法的關(guān)系的基礎(chǔ)上，進一步討論 2 種方法的關(guān)鍵計算參數(shù)之間的關(guān)系，在隨機介質(zhì)理論中引入 Peck 法的相關(guān)經(jīng)驗，以便使隨機介質(zhì)理論法的應(yīng)用進一步符合工程實際。4.1 主要影響角β 在隨機介質(zhì)理論法中，主要影響角 β 控制計算沉降槽的寬度。這與 Peck 法中的沉降槽寬度系數(shù) K的作用是相同的。因此二者存在理論上的相關(guān)關(guān)系。 將式(5)代入式(9)，可得 式(10)即為 Peck 法中的沉降槽寬度 i 和隨機介質(zhì)理論法中的主要影響角 β 的關(guān)系。以下對其中的沉降槽寬度 i 采用 2 種常用的表達式進行分析，進一步研究。 (1) Knothe 公式 在隨機介質(zhì)理論中，目前采用的 Knothe 公式[10]為 如果將常用的 i = 0. 5z0代入式(10a)，則可得到β =38.66，相當(dāng)于 Ф=12.68°。具有這樣指標(biāo)的土一般為軟弱黏性土。這與“倫敦硬黏土中一般 K 的均值為 0.5 左右”的一般概念明顯不符。可見，若按照土的實際內(nèi)摩擦角? 值代入計算，將得到較小的 β 角，也會得到較大的影響范圍，最終計算得到的沉降槽會過于平緩。 (2) 本文建議方法 采用 i = Kz0，則式(10a)可進一步寫為 根據(jù)不同土類的 K 的經(jīng)驗值(主要來源于英國)，繪于圖 4 中。同時圖中還繪出根據(jù)目前普遍采用的 Knothe 公式得到的曲線。由圖 4 可知，在土中隧道開挖引起的沉降槽寬度的基本規(guī)律與 Knothe公式相反，即隨著土層內(nèi)摩擦角的增大，沉降槽寬度減小。這主要是由于 Knothe 公式主要適用于各類巖石，與土作為散體介質(zhì)的沉陷變形機制不同所致。一個直觀的概念是，砂類土的沉降槽相對于硬黏性土來說要窄而深，這是符合工程實際的。采用一個線性關(guān)系[11，12]可很好地描述上述數(shù)據(jù)，即K =1-0.02Ф (14) 式(15)是根據(jù)隧道開挖、土質(zhì)情況直接得到的影響角的一個初步的經(jīng)驗計算公式，在工程實踐中易于應(yīng)用，且采用加權(quán)平均的辦法，很容易考慮分層土的情況，是本文建議在工程中采用的方法。4.2 斷面收縮半徑△R 隨機介質(zhì)理論方法中的斷面收縮半徑△R 和Peck法中的地層損失系數(shù)Vl在計算中具有相同的作用，均以某種形式反映隧道開挖后斷面面積的變化情況，因此二者之間的關(guān)系是顯而易見的。經(jīng)過簡單的面積計算公式推導(dǎo)，斷面收縮半徑?R 可方便地與地層損失系數(shù) Vl建立關(guān)系[13]，本文不再贅述。5 算例分析5.1 2 種方法預(yù)測結(jié)果的基本規(guī)律 為驗證上述分析結(jié)果，分別采用隨機介質(zhì)法和Peck 法計算不同埋深的圓形隧道的地面沉降情況。隧道半徑為 3 m，半徑收縮 0.1 m，影響角 50°。換算 Peck 參數(shù)為地層損失系數(shù) 6.56%，沉降槽寬度系數(shù) 0.336。計算結(jié)果如圖 5，6 所示。
式中： sm ax為在曲線的對稱點處(即隧道中心線的正上方)所發(fā)生的最大沉降，i 為從隧道中心線到沉降曲線的拐點處的水平距離。 計算 i 的一個廣泛采用的方法是 M. P. O′Reilly和 B. M. New[9]根據(jù)倫敦地區(qū)使用的工程經(jīng)驗提出的，即認為 i 和隧道軸線埋深 z 0之間存在簡單的線性關(guān)系：i = Kz0 (2) 式中：K 為沉降槽寬度系數(shù)。 若引入地層損失率 Vl 的概念，式(1)可寫為 式中： Vl 為地層損失率，定義為單位長度的地表沉降槽的體積占隧道開挖的名義面積 A 的百分比。 Peck 法的提出使沉降的預(yù)測在數(shù)學(xué)上大大簡化。經(jīng)過 30 多年工程實踐驗證，已經(jīng)積累豐富的實際應(yīng)用經(jīng)驗，被證明是一個有效的預(yù)估沉降的方法。目前，Peck 法已經(jīng)成為一個經(jīng)典公式，很多其他的經(jīng)驗方法都是在這一方法的基礎(chǔ)上進行修正而得來的。2.2 隨機介質(zhì)理論法 隨機介質(zhì)理論將巖土體視為一種“隨機介質(zhì)”，將開挖巖土體引起的地表下沉視為一個隨機過程。從統(tǒng)計觀點，可將整個隧道開挖看作無限多個無限小的開挖對上部地層影響的總和。如圖 1 所示的一個開挖單元，在不排水、不固結(jié)、密度不變化條件下，當(dāng)開挖單元完全塌落時，上部地層的坐標(biāo)點( x ，y ，z)的下沉[2](即地表的橫向沉降槽)為 式中： r (z)為微單元開挖在深度為 z 的水平面上的主要影響半徑，或稱為主要影響范圍。 根據(jù)荷蘭學(xué)者 S. Knothe[10]提出的采礦工程中的經(jīng)驗，沉陷槽主要影響范圍為r ( z)= z/tanβ (5) 式中： β 為隧道上部圍巖的主要影響角。 根據(jù)上述定義，對于地面沉降槽( z = z0)，β 的含義如圖 2 所示。 將式(4)對預(yù)先定義的某種類型的塌陷形式在塌陷面積上進行積分(如圖 3 所示)，就可獲得該情況下隧道上覆地層的位移：3 隨機介質(zhì)理論與 Peck 法的關(guān)系 在式(3)中， AV l的物理意義就是隧道開挖后的收斂面積(即隧道斷面面積的減小)。假定一個微型隧道用微元 dξ dη表示(且完全塌陷)，則收斂的面積應(yīng)為 d ξdη，將其代替式(3)中的 AVl ，可得 經(jīng)過式(9)的轉(zhuǎn)換就可得到與 Peck 法完全相同的結(jié)果。因此可明確以下結(jié)論：對于一個足夠小的開挖單元引起的地面沉降，隨機介質(zhì)理論和 Peck法得到的沉降槽分布特點和趨勢一致，若二者采用相同的沉降槽寬度，即式(9)成立，則具體沉降計算結(jié)果也是一致的。這里所謂的“足夠小的開挖單元”，在工程中可理解為：相應(yīng)于其開挖半徑或開挖面積，其埋深足夠大。這一結(jié)論將在后面進一步用計算結(jié)果證明。 經(jīng)過上述推導(dǎo)分析，可看到 Peck 法可看作是隨機介質(zhì)理論法在埋深較大的小斷面隧道的一個近似，即 z 0 /R(R 為隧道開挖半徑)足夠大的情況。由此也可解釋 2 種方法在很多情況下得到的結(jié)果也比較近似的原因。而隨機介質(zhì)方法得到的地表沉降曲線則相當(dāng)于一系列微元開挖引起的地表高斯曲線的疊加，與隧道開挖面的幾何性質(zhì)有關(guān)系，因此嚴(yán)格意義上講一般不符合高斯分布。 綜上所述，Peck 法的適用條件應(yīng)該是埋深大、半徑小的隧道開挖。對于淺埋的大斷面隧道，其引起的地面變形不可避免地要受到開挖斷面形狀和隧道收斂具體情況的影響。隨機介質(zhì)理論由于是直接基于隧道開挖前后斷面面積上的積分，因此可反映斷面形狀和隧道收斂情況的影響，因此從理論上來看，要比 Peck 法適用性更廣。當(dāng)然，對于一般城市地鐵隧道，以北京為例，埋深 20～30 m，直徑φ 4～6 m，能夠滿足上述 Peck 法的適用條件，因此具有良好的實用效果。4 隨機介質(zhì)理論法的參數(shù)確定 在隨機介質(zhì)理論中，需要確定 2 個關(guān)鍵參數(shù)：β和 △ R。而隨機介質(zhì)理論是最近 3～5 a 來剛剛從礦業(yè)工程領(lǐng)域引入城市淺埋地鐵隧道開挖引起地面變形計算中，因此對相關(guān)的計算參數(shù)的基本規(guī)律和選用還缺乏經(jīng)驗。相對而言，Peck 法在國內(nèi)外的應(yīng)用更加廣泛，也已經(jīng)積累很多經(jīng)驗。公式中所應(yīng)用的2 個關(guān)鍵參數(shù)，即沉降槽寬度系數(shù) K 和地層損失系數(shù) Vl，不僅對其影響因素有很多研究成果，且也提出很多行之有效的計算或預(yù)測方法，各地還積累一定的經(jīng)驗取值方法。 因此，在明確隨機介質(zhì)理論法和 Peck 法的關(guān)系的基礎(chǔ)上，進一步討論 2 種方法的關(guān)鍵計算參數(shù)之間的關(guān)系，在隨機介質(zhì)理論中引入 Peck 法的相關(guān)經(jīng)驗，以便使隨機介質(zhì)理論法的應(yīng)用進一步符合工程實際。4.1 主要影響角β 在隨機介質(zhì)理論法中，主要影響角 β 控制計算沉降槽的寬度。這與 Peck 法中的沉降槽寬度系數(shù) K的作用是相同的。因此二者存在理論上的相關(guān)關(guān)系。 將式(5)代入式(9)，可得 式(10)即為 Peck 法中的沉降槽寬度 i 和隨機介質(zhì)理論法中的主要影響角 β 的關(guān)系。以下對其中的沉降槽寬度 i 采用 2 種常用的表達式進行分析，進一步研究。 (1) Knothe 公式 在隨機介質(zhì)理論中，目前采用的 Knothe 公式[10]為 如果將常用的 i = 0. 5z0代入式(10a)，則可得到β =38.66，相當(dāng)于 Ф=12.68°。具有這樣指標(biāo)的土一般為軟弱黏性土。這與“倫敦硬黏土中一般 K 的均值為 0.5 左右”的一般概念明顯不符。可見，若按照土的實際內(nèi)摩擦角? 值代入計算，將得到較小的 β 角，也會得到較大的影響范圍，最終計算得到的沉降槽會過于平緩。 (2) 本文建議方法 采用 i = Kz0，則式(10a)可進一步寫為 根據(jù)不同土類的 K 的經(jīng)驗值(主要來源于英國)，繪于圖 4 中。同時圖中還繪出根據(jù)目前普遍采用的 Knothe 公式得到的曲線。由圖 4 可知，在土中隧道開挖引起的沉降槽寬度的基本規(guī)律與 Knothe公式相反，即隨著土層內(nèi)摩擦角的增大，沉降槽寬度減小。這主要是由于 Knothe 公式主要適用于各類巖石，與土作為散體介質(zhì)的沉陷變形機制不同所致。一個直觀的概念是，砂類土的沉降槽相對于硬黏性土來說要窄而深，這是符合工程實際的。采用一個線性關(guān)系[11，12]可很好地描述上述數(shù)據(jù)，即K =1-0.02Ф (14) 式(15)是根據(jù)隧道開挖、土質(zhì)情況直接得到的影響角的一個初步的經(jīng)驗計算公式，在工程實踐中易于應(yīng)用，且采用加權(quán)平均的辦法，很容易考慮分層土的情況，是本文建議在工程中采用的方法。4.2 斷面收縮半徑△R 隨機介質(zhì)理論方法中的斷面收縮半徑△R 和Peck法中的地層損失系數(shù)Vl在計算中具有相同的作用，均以某種形式反映隧道開挖后斷面面積的變化情況，因此二者之間的關(guān)系是顯而易見的。經(jīng)過簡單的面積計算公式推導(dǎo)，斷面收縮半徑?R 可方便地與地層損失系數(shù) Vl建立關(guān)系[13]，本文不再贅述。5 算例分析5.1 2 種方法預(yù)測結(jié)果的基本規(guī)律 為驗證上述分析結(jié)果，分別采用隨機介質(zhì)法和Peck 法計算不同埋深的圓形隧道的地面沉降情況。隧道半徑為 3 m，半徑收縮 0.1 m，影響角 50°。換算 Peck 參數(shù)為地層損失系數(shù) 6.56%，沉降槽寬度系數(shù) 0.336。計算結(jié)果如圖 5，6 所示。