[摘要]本文采用頻域分析法考慮TMD在多自由度結構中的位置和結構振型特征，推導了具有 MTMD的NDOF結構受控制型廣義坐標的頻率響應方程，據此進行MTMD的參數優化和設計，算例表明只要MTMD設計正確，它就可以有效地減小對結構起控制性作用的地震波的動力響應。
關鍵詞 MTMD 被動控制 頻率響應方程 參數優化


一、概述
早在1909年，美國的Frahm[1]就提出用一個質量的運動來控制或削弱另一個質量的運動這一概念并申請了專利，在這之后，人們進行了大量的研究。Frahm當時提出調諧質量吸振器這一設備是為了減小船舶的動力反應，后來慢慢地應用于土木工程領域房屋建筑，用來減小建筑在風、地震作用下的振動和使用荷載所引起的振動（如跳舞）。對于調諧質量阻尼器的研究，在相當長的時間內，絕大多數都集中在單個調諧質量阻尼器的研究[1,2]。
由于TMD發揮作用的前提是準確調頻，STMD僅為一個頻率值，由于各種各樣的原因受控振型的頻率很難準確知道，而且在振動過程中結構的頻率也會發生變化，因此STMD的準確調頻幾乎不可能實現，在實際中也就難以應用，而且在一個位置設置一個較大的質量從設計和施工的角度來看也難以實現，因此需要采用TMD的其它形式。為了解決提高TMD對主系統和TMD自身不確定因素的魯棒性（Robustness），最近幾年，一些學者開始研究 MTMD[3,4,5,6,7,8]。但是，上述對 STMD、MTMD的研究實際上均是針對單自由度主結構而言的，而且真正進行TMD實橋地震分析的也很少。本文采用頻域分析法考慮TMD在多自由度結構中的位置和結構振型特征，推導了具有MTMD的MDOF結構受控振型廣義坐標的頻率響應方程，據此進行MTMD的參數優化和設計，同時還給出了一座橋的算例。

二、MDOF結構中MTMD受控報型的頻率幅值方程
設結構的自由度為m，TMD的個數n（設為奇數），MTMD的頻率以控制振型的頻率為中心已按一定的間隔等間距分布，為了便于加工和制作，每個TMD采用相同的剛度和阻尼常數，僅有質量發生變化。設MTMD的運動方向沿結構的第i個自由度，則具有MTMD的MDOF結構的動力平衡方程為：

式（l）中X（t）為MDOF結構相對于地面的動力位移，M，C，K，R分別為MDOF結構的質量矩陣、阻尼矩陣幾度矩陣和地震波輸入方向矩陣。其中F（t）為：




由于Ms，Cs，Ks僅在第一行、第一列和對角線上有非零元素，第i個振型的廣義坐標η的振幅響應yij（w）為y（w）的第一個元素，可采用克萊姆規則求得，經過數學整理，yij（w）最終可變換為：

式中

其中：g＝w／wi=外部激勵頻率／受控振型頻率；ξi：受控制振型的阻尼比；
φij：受控制型對應第j個自由度的振幅值；ξh：第h個TMD的阻尼比。

三、MTMD的參數分析與設計
在設計MTMD時應確定的參數包括：MTMD中TMD的個數、每個TMD的剛度常數,每個TMD的阻尼常數、TMD的頻率間隔。
大量的計算表明，針對不同的結構或同一結構的不同振型，MTMD的優化參數會不同，必需針對具體結構的具體振型進行參數優化分析，限于篇幅，下面直接給出算例關家溝大橋的縱橫向MTMD（分別控制縱模向的地震反應）的優化參數：

四、MTMD控制地震時程分析
關家溝大橋[9]為簡支梁橋，全長464米，是四川省萬縣－梁平高速公路上的一座高架橋梁，全橋采用11孔40m跨徑預應力混凝土簡支梁，雙柱式薄壁離墩，"U"形重力式橋臺。該橋以相對溝底逾百米的高差凌空跨過谷地，具有多個高橋墩，高度最大的橋墩在自然地面以上97m。計算模型見圖1。為了具體分析設置MTMD的制振效果，本文采用19條不同的地震波對關家溝大橋縱橫向分寶進行了設置MTMD前后的地震響應時程分析，計算表明，對于絕大部分地震波MTMD都起到了較好的制振作用，限于篇幅，僅給出兩條地震波作用下的位移響應時程：

從圖2～圖5可以看出，MTMD明顯地改變了結構的時程響應，使動力反應減小，在最初的幾秒內，MTMD對時程響應基本上沒有改變，這是因為，MTMD還處于啟動階段，還沒有充分運動起來的緣故。雖然有些地震波在個別時刻有反應增大現象，但都是在響應較小的非強振時刻，無關緊要。

另外還應該注意到一個很重要的情況，那就是地面激勵的頻率成分和各頻率成分所攜帶的能量（或者振幅值的大小），如果地震波具有較大的加速度峰值且其攜帶主要能量的頻率成分接近于結構動力響應的主控頻率，則這條地震波將對結構起控制作用，反之，如果攜帶主要能量的頻率成分偏離結構動力響應的主控頻率，則這條地震波將對結構不起控制作用。TMD要吸收結構動力反應的能量，一個前提條件是TMD必須充分運動起來，如果TMD沒有相對主結構運動起來，則其將起反作用而導致增大結構的反應（相當于原結構的質量增加了，n為MTMD中TMD的總數）；如果運動起來了。但運動大小，則其所起的作用也相應較小。對于起控制作用的地震波，因為它將成大結構主控振型的動力響應，相應地也會使TMD產生較大的運動，因而會對結構產生較好的控制效果。對結構不起控制作用的地震波由于其攜帶主要能量的頻率成分偏離結構動力響應的主控頻率，則它不會放大結構主控振型的動力響應，相應地也不會使TMD產生較大的運動，因而不會對結構產生較好的控制效果，但這無關緊要，因為它對結構的動力反應不起控制作用，這種地震波本來就不屬于控制對象。
還有這樣一種情況，那就是最大峰值反應的出現時刻太平，TMD還來不及充分運動起來，強振時段就已過去，此時即使地震波攜帶主要能量的頻率成分接近結構受控振型的頻率，TMD的制振效果也會稍差一些，從大量的算例來看這只是個別的情況。

五、結論
本文采用頻域分析法考慮TMD在多自由度結構中的位置和結構振型特征，推導了具有MTMD的MDOF結構受控振型廣義坐標的頻率響應方程，據此進行MTMD的參數優化和設計，算例表明只要MTMD設計正確，它就可以有效地減小對結構起控制性作用的地震波的動力響應。

參考文獻
[1] Rahul Rana and T.T. Soong, Parametric study and simplified design of tuned mass dampers, Engineering Structures.Vol. 20. No. 3. PP. 193~204, 1998
[2] G.B.Warburton, Optimum absorber parameters for various combinations of response and excitation parameters,Earthquake Eng. Struct. Dyn. VoI. 10, 381 ~401(1982).
[3] Ahsan Kareem, Member, ASCE, and Samuel Kline, Performance of multiple mass dampers Under random loading,Journal of Structural Engineering, Vol. 121. No. 2. FebrUary, 1995. ASCE. ISSN 0733-9445/95/0002-0348-0361.
[4] Kangming Xu and Takeru Igusa, Dynamic characteristics of multiple substructures with closely spaced frequencies,Earthquake Eng. Struct. Dyn. Vol. 21, 1059~ 1070 (1992).
[5] T. lgusa and K. xu, Vibration control using multiple tuned mass dampers, J. Sound and Vibration Vol. 175(4), 491 -503(l994).
[6] Masato Abe and Yozo Fujino, Dynamic characterization of multiple tuned mass dampers and some design formulas,Earthquake Eng. Struct. Dyn. vol. 23 813 ~835(1994)
[7] R. S. Jangid, Dynamic characteristics of structures with multiple tuned mass dampers, Structural Engineering and Mechanics, Vol. 3, No. 5(1995)497~509.
[8] Hiroki Yamaguchi and Napat harnpornchai, Fundamental characteristics of muhiple tuned mass dampers for suppressing harmonically forced oscillations, Earthquake Eng. Struct. Dyn. Vol. 22, 51~62(1993).
[9]賀立新，田波。公路橋梁超高墩的設計與實施。第十三屆全國橋梁學術會議論文集。1998.11.16～19，上海