【摘要】本文在前人研究的基礎(chǔ)上提出了統(tǒng)一的顫振和抖振分析方法。該方法以非線性有限元的直接積分法為基礎(chǔ)，在研究中具體解決了隨機(jī)風(fēng)速場(chǎng)的模擬、耦合自激力的時(shí)域計(jì)算和統(tǒng)一的顫抖振時(shí)程分析流程等關(guān)鍵問題，考慮了結(jié)構(gòu)的幾何非線性和有效攻角效應(yīng)。本文的研究糾正了過去時(shí)程分析方法不能同時(shí)處理顫振和抖振的理論缺陷。本文還通過所編制的軟件的計(jì)算實(shí)例驗(yàn)證了方法的正確性和可行性。
關(guān)鍵詞 橋梁 非線性 顫振 抖振 時(shí)程分析

一、前言
時(shí)程分析方法是橋梁風(fēng)工程中的主要方法之一。過去的非線性時(shí)域分析方法都局限于抖振。其基本流程是首先模擬橋梁風(fēng)場(chǎng)的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，根據(jù)脈動(dòng)風(fēng)速計(jì)算抖振力和自激力，然后將抖振力和自激力的計(jì)算編入非線性有限元程序中，最后再運(yùn)用這樣的程序進(jìn)行計(jì)算。在這個(gè)流程中，非線性有限元程序是比較成熟的，但在脈動(dòng)風(fēng)速模擬和自激力的計(jì)算方面都還存在著對(duì)分析有重要影響的缺陷。由于時(shí)域中耦合自激力的計(jì)算比較困難，過去的時(shí)程分析中都沒有考慮耦合的自激力，因此，這樣的分析方法不能用來分析耦合顫振【2】。
本文在此對(duì)時(shí)程分析方法進(jìn)行了改進(jìn)。首先是改進(jìn)了模擬隨機(jī)風(fēng)場(chǎng)的諧波合成法，提高了模擬的效率。然后本文實(shí)現(xiàn)了時(shí)域中耦合自激力的計(jì)算，從而在時(shí)域中實(shí)現(xiàn)了比較完善的風(fēng)荷載計(jì)算。利用這樣的風(fēng)荷載，本文在時(shí)域中統(tǒng)一了抖振和顫振的分析方法。在時(shí)域中實(shí)現(xiàn)了耦合顫抖振和顫振分析。根據(jù)這一方法，本文運(yùn)用可視化編程技術(shù)，編制了大跨度橋梁非線性顫振和抖振時(shí)程分析的有限元程序Nbuffet，并對(duì)程序進(jìn)行了驗(yàn)證。最后本文對(duì)江陰長(zhǎng)江大橋進(jìn)行了非線性顫振和抖振分析，得出了一些有益的結(jié)論。

二、脈動(dòng)風(fēng)送的模擬
要進(jìn)行抖振時(shí)程分析就必須首先模擬作用在橋梁上的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程。本文采用經(jīng)作者改進(jìn)的諧波合成系列中的一種方法，大大提高了模擬效率，為在后文進(jìn)行顫振時(shí)程分析中不斷變換風(fēng)速計(jì)算節(jié)約了時(shí)間。作用在大跨度橋梁上脈動(dòng)風(fēng)速可視為一維多變量隨機(jī)過程。眾所周知，用諧波合成法模擬一維多變量隨機(jī)過程需要計(jì)算互譜密度矩陣的Cholesky分解。該分解通常采用迭代法求借，計(jì)算最大，常常影響模擬的規(guī)模的效率。本文作者利用橋梁上各點(diǎn)的互譜密度近似相等的特點(diǎn)，導(dǎo)出了顯式的分解公式，并且采用了FFT技術(shù)，從而極大地提高了模擬效率。經(jīng)過改進(jìn)后的諧波合成法如下[3]：

其中，q是p／(2N)的余數(shù)，q＝0，l，2，…，2n-l. hjm(qΔt)由下式給出：

式（2）就是一個(gè) Fourier變換,用 FFT算法計(jì)算。Gjm(ω)則是作者改進(jìn)的顯式 Cholesky分解，由下式給出

其中

三、風(fēng)荷載計(jì)算
引起橋梁風(fēng)振的荷載可以分為靜力風(fēng)荷載、抖振力和自激力。其中靜力荷載按常規(guī)靜力三分力系數(shù)計(jì)算，抖振力常按Scanlan的準(zhǔn)定常理論計(jì)算。
自激力的計(jì)算一直是研究得較多的課題之一。傳統(tǒng)頻域抖振和顫振分析方法中的自激力都采用Scanlan提出的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的線性表達(dá)式。由于該表達(dá)式是頻域和時(shí)域的混合表達(dá)式，不能在時(shí)域中求解。為了在時(shí)域中順利計(jì)算耦合自激力，Lin提出了一種用單位脈沖響應(yīng)函數(shù)表達(dá)的統(tǒng)一自激力表達(dá)式【4】。本文按 Lin的理論計(jì)算耦合自激力。 Lin的理論基于二自由度耦合。然而，三自由度耦合對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響最近也引起了一些學(xué)者的關(guān)注。雖然并非所有的自由度之間都具有耦合特性，但從理論和形式完備的角度出發(fā)，本文將Lin的理論從二自由度推廣到三自由度，成功地實(shí)現(xiàn)了時(shí)域內(nèi)三自由度耦合自激力的計(jì)算。本文擴(kuò)充后的三自由度耦合自激力公式如下：

用脈沖響應(yīng)函數(shù)表達(dá)的自激力適合于任意形式的振動(dòng)，也適用于正余弦振動(dòng)（顫振）。根據(jù)在正余弦振動(dòng)形式下，脈沖響應(yīng)函數(shù)表達(dá)的自激力與氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)表達(dá)的自激力相等價(jià)的關(guān)系，Lin導(dǎo)出了用脈沖響應(yīng)函數(shù)表達(dá)的自激力的具體表達(dá)形式。以Mα（t）為例，其最終表達(dá)式為[7]

式中，Ck，dk為待定系數(shù)，它們與氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為（以n＝4為例）：

對(duì)上式進(jìn)行最小二乘擬合就可以得到待定系數(shù)的近似值。其他幾個(gè)自激力分量Lh（t），Lp（t），La(t)，Dh（t），Dp（t），Da（t），Mh（t），Mp（t）的構(gòu)造形式與式（8）相同，其中的待定系數(shù)與相關(guān)的氣動(dòng)導(dǎo)我也有類似的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以通過最小二乘擬合確定。從式（7）可以看出，本文推廣后的自激力表達(dá)式需要用到完整的18個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)。也就是說，只要從試驗(yàn)或CFD計(jì)算得到了橋梁斷面的18個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，我們就可以在時(shí)域內(nèi)獲得任意運(yùn)動(dòng)形式下的自激力近似表達(dá)式，并且分別用這些氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響進(jìn)行參數(shù)分析。限于氣動(dòng)識(shí)別技術(shù)的困難，本文的計(jì)算中對(duì)沒有測(cè)量值的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)暫時(shí)置0。隨著計(jì)算流體力學(xué)（CFD）的逐漸成熟，運(yùn)用CFD技術(shù)進(jìn)行氣動(dòng)識(shí)別將會(huì)有效地彌補(bǔ)這方面的不足。

四、統(tǒng)一的額報(bào)和抖報(bào)時(shí)域分析方法
在傳統(tǒng)的步域分析方法中，抖振和顏振是通過完全不同的方法來分析的。其中，抖振分析用的是基于隨機(jī)振動(dòng)理論的響應(yīng)譜方法，顫振分析用的是與特征值問題有關(guān)的半逆解法或復(fù)模態(tài)解法。風(fēng)振時(shí)程分析的初衷是為了解決非線性情況下的抖振響應(yīng)計(jì)算。但是顫振分析中所需要的計(jì)算自激力的公式在抖振時(shí)程分析中都要用到，所以從理論上講，利用計(jì)算抖振時(shí)程分析的方法同樣可以在時(shí)域中計(jì)算顫振。實(shí)際上，抖振和顫振并不是完全獨(dú)立的。在任何風(fēng)速之下，橋梁都受到抖振力和自激力的作用。當(dāng)風(fēng)速較低時(shí)，自激力很小，不起控制作用，橋梁的振動(dòng)就體現(xiàn)為抖振。當(dāng)風(fēng)速增加到一定程度時(shí)，自激力逐漸發(fā)散，并控制橋梁的運(yùn)動(dòng)，橋梁就發(fā)生了顫振。因此，只要正確地描述了抖振力和自激力，運(yùn)用時(shí)程分析這一仿真的分析方法，就可以算出一定風(fēng)速之下橋梁的真實(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如果表現(xiàn)為隨機(jī)振動(dòng)，則說明是抖振，我們就可以得到響應(yīng)時(shí)程統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。如果是發(fā)散振動(dòng)，就說明橋梁發(fā)生了顫振。只要不斷進(jìn)行搜索計(jì)算，我們就能在時(shí)域中找到橋梁的顫振臨界風(fēng)速。
根據(jù)以上設(shè)想，本文設(shè)計(jì)并首次成功地實(shí)現(xiàn)了時(shí)域中統(tǒng)一的顫振和抖振分析算法，其分析流程見圖1。

流程中，耦合自激力的計(jì)算是個(gè)關(guān)鍵。過去的一些抖振時(shí)程分析方法中常只近似考慮非耦合的自激力。而大跨度橋梁的顫振發(fā)散大多是受耦合自激力控制的，因此，過去的抖振時(shí)程分析方法不能用于計(jì)算顫振的原因就在于此。顫振發(fā)散的判斷依據(jù)也是關(guān)鍵之一。考慮到結(jié)構(gòu)在接近顫振臨界狀態(tài)時(shí)，振動(dòng)形式逐漸從隨機(jī)振動(dòng)過渡到諧波發(fā)散振動(dòng)，其振幅將逐漸增大，相應(yīng)振動(dòng)的阻尼將逐漸減小。因此，本文先通過位移時(shí)程曲線觀察振幅的變化規(guī)律，當(dāng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)明顯過渡為諧波振動(dòng)時(shí)，則根據(jù)計(jì)算結(jié)構(gòu)的阻尼系統(tǒng)，當(dāng)阻尼系統(tǒng)為負(fù)時(shí)，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)進(jìn)入顫振臨界狀態(tài)。計(jì)算實(shí)例表明，這種判斷方法與其他方法計(jì)算得到的結(jié)果一致。

五、非線性顫振和抖振時(shí)程分析的程序設(shè)計(jì)
除了在時(shí)域中統(tǒng)一顫振和抖振分析方法以外，本文研究時(shí)程分析方法的目的還在于分析不同非線性因素對(duì)橋梁顫振和抖振響應(yīng)的影響。與大跨度橋梁抖振和顫振有關(guān)的非線性現(xiàn)象主要有：
（l）幾何非線性，包括平均風(fēng)荷載引起的位移：由于大跨度橋梁相對(duì)細(xì)長(zhǎng)，幾何非線性現(xiàn)象不能忽視；
（2）有效攻角效應(yīng)：由平均風(fēng)荷載引起的位移使風(fēng)對(duì)橋梁的攻角發(fā)生變化，從而使靜力三分力系統(tǒng)和氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)發(fā)生變化，因此附加攻角對(duì)橋梁的影響不能忽視。
根據(jù)以上分析流程并考慮這些非線性因素，借鑒一些通用有限元程序的理論和源代碼[5]，本文作者編制了大跨度橋梁顫振和抖振分析程序Nbuffet。該程序以 Fortran Power Station（FPS）4.0為平臺(tái)，采用Fortran90語言編程。作者運(yùn)用了FPS的Windows編程技術(shù)，使Nbuffet成為一個(gè)基于Windows95／NT平臺(tái)具有豐富的交互式功能的實(shí)用程序。
由于目前非線性有限元技術(shù)相對(duì)比較成熟，該部分在理論上不是本文的重點(diǎn)，因此這里不再詳述。

六、實(shí)例分析
在以上理論的基礎(chǔ)上，本文作者編制了相應(yīng)計(jì)算機(jī)程序Nbuffet。該程序考慮了結(jié)構(gòu)的幾何非線性和氣動(dòng)非線性（有效攻角引起的三分力和氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)等變化），以便可以考慮這些非線性對(duì)結(jié)構(gòu)風(fēng)振行為的影響。本文作者在程序中采用魚骨架式模型建立大跨度橋梁模型，采用桿梁的切線剛度矩陣和Newton-Raphson方法并引入平衡迭代來處理結(jié)構(gòu)幾何非線性，采用圖1所示的流程來反映有效攻角效應(yīng)。運(yùn)用所編制的程序，本文分析了江陰長(zhǎng)江大橋主橋的非線性顫振和抖振行為。
江陰長(zhǎng)江大橋主跨1385m，是我國(guó)目前在建的跨度最大的橋梁。豐文運(yùn)用Nbuffet程序，分析了該橋不同參數(shù)下的顫振和抖振響應(yīng)，并與用其他方法得到的結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示，本文建立的統(tǒng)一的顫振和抖振分析方法在理論上和實(shí)踐上都是成功的。本文所編制的Nbuffet程序也是實(shí)用可靠的。以下分別是運(yùn)用傳統(tǒng)頻域分析方法、風(fēng)洞模型試驗(yàn)和本文的方法分析得出的一些結(jié)果對(duì)比情況。限于篇幅所限，本文未給出與表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的曲線圖。從結(jié)果對(duì)比可以看出本文的計(jì)算結(jié)果與頻域分析方法、風(fēng)洞模型試驗(yàn)的結(jié)果基本吻合（表l～表3）。本文的主要目的是建立一套時(shí)域內(nèi)顫振和抖振統(tǒng)一分析的方法和流程。從比較結(jié)果來看，這種方法和流程是成功的。
從比較結(jié)果中還可以得到以下一些現(xiàn)象：
（1）從表2看，本文豎向響應(yīng)略小于風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果，而從表3看，本文的扭轉(zhuǎn)結(jié)果又略大于風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果。考慮到目前的風(fēng)振試驗(yàn)和分析方法體系都尚未達(dá)到比較精確的程度，這些誤差可能來源于試驗(yàn)、頻域、時(shí)域三者之間的模型誤差。

（2）從表4看，素流對(duì)該橋的顫振臨界風(fēng)速?zèng)]有影響，即考慮抖振項(xiàng)的參與不影響該橋額振臨界風(fēng)速。
（3）從表5、表6看，只有氣動(dòng)導(dǎo)納因素對(duì)抖振結(jié)果影響顯著。可見，幾何非線性和有效三分力及有效氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)對(duì)懸索橋的影響可能要到更大的跨度才能表現(xiàn)出來。

七、結(jié)語
大跨度橋梁在非線性情況下的顫振和抖振分析是目前橋梁風(fēng)工程研究的熱點(diǎn)之一。本文著重提出了時(shí)域中統(tǒng)一的顫振和抖振方法，同時(shí)解決了脈動(dòng)風(fēng)速的高效率模擬、結(jié)構(gòu)幾何非線性和氣動(dòng)非線性的處理方法。在此基礎(chǔ)上，本文編制了計(jì)算程序Nbuffet并用該程序分析了江陰長(zhǎng)江大橋非線性顫振和抖振響應(yīng)。結(jié)果表明本文提出的方法及所編制的程序在理論和實(shí)踐上都是正確的。
在此基礎(chǔ)上，我們就可以在時(shí)域中增加考慮各種非線性因素對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析從而尋找結(jié)構(gòu)對(duì)這些因素的敏感性；我們也可以根據(jù)時(shí)程計(jì)算來進(jìn)行非線性的振動(dòng)控制。而這些研究工作在頻域范圍內(nèi)是難以開展的。如果與CFD技術(shù)相結(jié)合，將可望實(shí)現(xiàn)從參數(shù)識(shí)別到結(jié)構(gòu)宏觀計(jì)算和控制的全過程分析。從而達(dá)到與風(fēng)洞試驗(yàn)互為補(bǔ)充的目的。
應(yīng)該說，盡管以上方法和程序是成功的，但是更重要的是要利用這種方法對(duì)所關(guān)心的橋梁進(jìn)行各種用過去的方法所不能進(jìn)行的全過程參數(shù)分析，從而得到更具有普遍規(guī)律性的結(jié)論。因此，大量的實(shí)例計(jì)算和總結(jié)是必要的。

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